BasisPoint implementeert zero coupon swap in QuantLib (open source financial library)
Introductie
Waar worden zero coupon swaps voor gebruikt?
Een zero coupon swap is een derivaat die twee losse kasstromen uitwisselt. Dit bestaat uit een leg met een fixed kasstroom betaling, waar de andere leg gelinkt is aan de floating rate die periodiek wordt gecompound.
Zero coupon swaps worden veelvuldig gebruikt door pensioenfondsen als een hedge instrument voor de lange termijn verplichtingen. Doordat de kasstromen van een zero coupon swap alleen op het einde van de looptijd vallen is het gemakkelijker om deze te matchen met de kasstromen van de verplichtingen, dan bijvoorbeeld het geval zou zijn bij vanilla interest rate swaps. Een aanzienlijk nadeel van zero coupon swaps is het hogere tegenpartijrisico, doordat de kasstromen/betalingen op het einde van de looptijd plaatsvinden, in tegenstelling tot vanilla IRS's (die (half)jaarlijkse kasstromen kennen vanuit de coupons). Dit maakt zero coupon swaps minder populair bij andere marktparticipanten en leidt tot lagere liquiditeit en relatief hogere prijzen.
Waardering
Zero coupon swaps kunnen gequoot worden in termen van een gegeven fixed kasstroom
of een fixed rate
, waar:
met
zijnde de time fraction tussen de startdatum van het contract
en de einddatum
- volgens een bepaalde day count convention.
is de base notional amount voordat compounding plaats heeft gevonden.
De floating leg betaalt ook een enkele kasstroom
, deze waarde wordt bepaald door periodiek de interest rate index fixings te middelen (bijvoorbeeld elke 6 maanden).
Uitgaande van het gebruik van compounded averaging de geprojecteerde waarde van de floating leg wordt:
met
zijnde de interest rate index fixings voor de accrual period
.
De contante waarde van het receiver contract (de fixed leg kasstroom wordt ontvangen) is:
met
is de finale betalingsdatum
,
is de nominal discount factor op tijdstip
met referentie tijd
.
Gegeven dat de floating leg van een zero coupon swap wordt gecompound, is het belangrijk voor de waardering en risico management om betrouwbare toekomstige Euribor fixings te kunnen projecteren. De kwaliteit van de forwards hangt grotendeels af van de gekozen interpolatie methode voor de termijnstructuur (naast betrouwbare marktdata). Hierna zullen een aantal voorbeelden van forward curves gegeven worden voor verschillende interpolatie methodes.
Gegeven de vormen van de termijnstructuren, kunnen een aantal conclusies worden getrokken:
- lineaire interpolatie op zero rates vertoont een zaagtandvormige forward curve, dit impliceert slechte stabiliteit voor de index projecties;
- cubic interpolatie op zero rates laat een lichte verbetering zien, vergeleken met de lineaire interpolatie. Daarentegen laten de forwards nog steeds ongewenste fluctuaties zien;
- lineaire interpolatie op log discounts leidt tot een trapvormige forward curve, dit betekent dat tussen de nodes van de curve de forwards constant worden gehouden;
- cubic interpolatie op log discounts geeft een smooth forward curve, dit ligt het meest in lijn met de principes die door marktparticipanten worden gehanteerd bij het aangaan van transacties.
Stel dat we een receiver swap voor 25 jaar willen waarderen, die een paar jaar geleden is gestart en nog ongeveer 20 jaar loopt, met EUR 10 miljoen als de base notional met een fixed rate van 1%. Gegeven de verschillende interpolatie methodes resulteert dit in de volgende waarderingen:
- NPV onder linear zero interpolatie: EUR 1,795,966
- NPV onder linear log discount interpolatie: EUR 1,794,153
- NPV onder cubic zero interpolatie: EUR 1,788,657
- NPV onder cubic log discount interpolatie: EUR 1,778,770.
Risico analyse
Onze financial library biedt verschillende methodes om de risico's die van toepassing zijn op ZCS's te analyseren. In dit voorbeeld focussen we op de par DV01's, de gevoeligheid van de marktwaarde van het instrument rekeninghoudend met de veranderingen van de par swap rates. De par swap rates op liquide punten vormen samen de termijnstructuur die wordt gebruikt om de kasstromen te verdisconteren en om de toekomstige interest rate fixings van de zero coupon swap te projecteren. Uiteindelijk verkrijgen we enkele interessante verdelingen van de gevoeligheden onder verschillende interpolatie methodes. Onderstaande grafiek toont de verdelingen van de par DV01's onder de verschillende interpolatie methodes.
De gevoeligheden die zijn berekend onder de termijnstructuur voor cubic zero en cubic log discount interpolaties laten duidelijke verschillen zien vergeleken met de twee andere methodes. Het is vaak het geval dat cubic interpolatie methodes non-locality van hedges laat zien.
De totale DV01's zijn:
- DV01 onder linear zero interpolatie: EUR -25,795
- DV01 onder linear log discount interpolatie: EUR -24,665
- DV01 onder cubic zero interpolatie: EUR -25,767
- DV01 onder cubic log discount interpolatie: EUR -25,799.
De totale DV01's liggen dicht bij elkaar, maar het is de verdeling van delta's over de verschillende looptijden (buckets) waar portefeuillemanagers en handelaren naar kijken bij het bepalen van de grootte van hedges. Het is belangrijk om op te merken dat de waarderingsverschillen die ontstaan door verschillende interpolatie methodes binnen één DV01 liggen, wat gepaard gaat met een parallelle verschuiving van de waarderingscurve met één basispunt. Dat wordt doorgaans beschouwd als een aanvaardbare drempel voor waarderingsverschillen voor dit soort derivaten.
Neem voor vragen of opmerkingen, over deze blog, andere blogs of de dienstverlening van BasisPoint, vrijblijvend contact op via:
info@basispoint.io